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若何绕过受力合成解力学下场?《张背阴的物理课》教学拉格朗日力学

时间:2024-12-25 01:54:28 来源: 作者:

原问题:若何绕过受力合成解力学下场  ?《张背阴的若何绕过物理课》教学拉格朗日力学

牛顿力学在17世纪就已经睁开患上至关成熟了 ,但为甚么在18世纪,受力迷信家们又建树起了另一套拉格朗日力学 ? 9月29日12时,合成《张背阴的解力教学物理课》第一百七十七期开播 ,搜狐独创人 、学下董事局主席兼首席实施官、场张物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间,背阴从光学的理课拉格朗日力学费马道理类比动身,剖析做作界存在对于某个熏染量取变分极值的若何绕过偏好,接着构建起拉格朗日力学系统 ,受力并举例剖析拉格朗日力学的合成啰嗦之处 。

从费马道理重新审阅牛顿行动方程

在正式介绍拉格朗日力学前,解力教学张背阴先带巨匠回顾了牛顿力学是学下若何处置下场的。在牛顿力学中,场张需要先对于物体做受力合成  ,背阴这些力的协力会反映到物体的减速率上 ,减速率a是速率v的变更率 ,速率v是位置矢量x的变更率 。举一个重大的例子,重物在重力熏染下逍遥落体。

(重物逍遥落体)

为重大起见 ,只思考竖直倾向的坐标  ,取竖直向下为正倾向建树x轴 ,这样就能把物体在t光阴的位置记为一个坐标x(t) ,不才面加一点展现坐标对于光阴求一阶导,患上到速率v ,再加一个点是求二阶导  ,患上到减速率a

用牛顿第二定律可能列出

很简略解出逍遥落体的行动方程为

以上是由牛顿定清晰进去的行动方程 ,它是x对于t的二次函数,画在x-t图中是一条抛物线。

(行动道路多种抉择)

但无妨再斗果敢胆地想一想,假如如今不知道行动方程是奈何样样的  ,概况说,假如在另一个星球上知足另一条物理纪律,那末它的道路很可能再也不是t的平方 ,而是t的一次方概况三次方。从尽头①到尽头② ,有良多种可能的道路(图中红线),它与黑线差△x(t)。由于道路再也不禁牛顿定律判断,行动方程只能写成对于t的未知的函数

在这样的情景下 ,有无可能找到另一个条件,从这个新的动身点动身 ,能重新推导出牛顿定律呢?

回顾先前电能源学课上讲过的“分层理念”。可能把电磁学量分成三层,第一层是电势以及磁矢势 ,第二层是电磁场,可能由第一层求时空偏导患上到  ,第三层是电磁场的散度以及旋度 ,与电荷以及电流直接相关。麦克斯韦方程组可能用第二层以及第三层的量来形貌 ,也可能把第二层的量换成第一层来患上到更松散的方式 。相似地 ,力学中理当也可能找到x以及v眼前更底层的量,把牛顿定律写成另一种方式。在这种脑子的开辟下 ,假如有一个标量函数F,它与x以及v无关

这个函数对于光阴的积分会进去一个数

这样写至关于输入一个道路函数x(t),它会经由被积函数F输入一个数S,这是从函数x(t)到数S的映射,称为泛函 。

之以是想到妄想这样一个泛函 ,是由于在17世纪,光学规模已经提出了光的费马道理。费马见告巨匠,设定光动身的尽头以及抵达的尽头,两点之间有良多可能的道路可能相连 ,那末光所走的着实道路确定是历时最短的那条,概况说 ,历时确定取在一个极值 。用这个道理可能把光在平均介质中沿直线转达、光的反射以及折射纪律都涵盖进去 。

光所走的历时是对于道路求积分患上出的一个泛函 。道路是一个函数,对于它输入自变量坐标它会输入因变量坐标,是数到数的映射  。而历时是一个泛函,对于它输入一个道路函数它会输入一个光阴,是函数到数的映射。

假如把每一条可能的道路看做函数空间中的一个点 ,泛函便是输入一个函数空间中的点并输入一个数 。光所走的着实道路位于泛函取极值的中间,它的一阶变分为0,意思是说,把给泛函的输入,从代表光所走的着实道路的点稍作偏移,也即把道路稍微挪移一小段,泛函所输入的数值将简直巩固 。这以及函数取极值时一阶导为0是同样的,这样的点称为驻点(stationary point)  ,光所走的实际道路也称为stationary path 。

类比光的费马道理 ,有无可能在力学中也计划一个标量函数F ,使患上物体在按着实行动方程行动时 ,输入的数S也取为极值呢?

从变分取极值推导行动方程,并用函数空间清晰驻点

有了想法,就能开始数学推导了。对于道路x(t)做变分 ,酿成x(t)+△x(t)后,F会响应地酿成F+△F,S也会酿成S+△S。这里只关注变更量 ,写出S的一阶变分为

尽管道路x(t)以及速率v(t)作为光阴的函数是有分割关连的 ,但F作为x以及v的二元函数,对于它们的依赖关连是自力的。以是在审核F的变分时,理当先假如摁住速率v不动,思考△x的贡献 ,再摁住x不动,思考△v的贡献

在第二项对于速率的变分中 ,可能把变分以及对于光阴求导的挨次做一个交流

代回对于F的变分式 ,并将第二项凑玉成微分的方式

交流第二项以及第三项的位置,把以及△x线性相关的项放在一起,再代回对于S的变分式

上式写成为了两项,第二项是一个全微分 ,很简略积出服从。由于在对于道路x的变分中已经牢靠了尽头以及尽头,

以是对于第二项积分后患上到的变更量是0 。另一方面,这里要追寻的F的函数方式是使患上S在实际行动方程上取极值 ,概况说 ,它的一阶变分取0,是一个在输入函数x的函数空间中的驻点,这要求不论△x若何抉择 ,第一项的服从也依然是0 。以是方括号中的被积函数必需取为0,

(张背阴推导变分取极值的条件)

至此,张背阴从数学上推出了一个泛函S取极值时 ,它的被积函数F理当与道路x以及速率v具备何种关连 。尽管x以及v作为t的函数是相互依赖的,但F对于x以及v的函数关连是自力的,在思考F若何妄想时,可能用正交的x轴以及v轴代表所有可能道路的函数空间。

每一个道路经由被积函数F对于应一个泛函S  ,它能画成函数空间中的一个曲面。但这个面是冗余的 ,在这个面上 ,惟独v是x对于光阴求一阶导的点才对于运分心义的道路。在这些分心义的函数点所连成的线上做一阶变分,变分为0的驻点对于应的道路函数就理当是物体的着实道路,这些点就彷佛“山谷” 、“山脊”概况“鞍点”  ,而“山坡”所对于应的点就不是物体的着实道路。

(用函数空间中的曲面清晰变分驻点。这里x轴以及v轴尽管垂直  ,但对于分心义的道路而言它们并非自力的)

有读者会留意到当初惟独要了一阶变分为0 ,它对于应的是取极值的驻点,但并不能分说它是极小、极大仍是一个鞍点  ,为甚么会叫它“最小熏染量道理”呢?这着实是一个习气的叫法,更严厉的叫法理当是平稳熏染量道理(principle of stationary action) 。在大部份情景下,妄想进去的F在实际行动道路下简直取的是泛函极小值,它的二阶变分大于0  ,是一个位于山谷的凹点 。

妄想拉格朗日量以及熏染量 ,建树拉格朗日力学

那末被积函数F在甚么样的函数方式下 ,求进去的驻点对于应的道路恰正是牛顿第二定律呢?在不思考非激进力(好比磨擦力或者洛伦兹力)的情景下,拉格朗日给出的服从是,被积函数F即是动能T减去势能V,这称为拉格朗日量

拉格朗日量对于光阴的积分S也被正式命名为熏染量。适才患上到的对于变分取极值的方程也正式酿成为了欧拉-拉格朗日方程

下面的拉格朗日量是动能以及势能的函数,简直很像电能源学中第一层的电势以及磁矢势 。张背阴再次以逍遥落体举例 。在这里,重物的动能为

重力势能为

以是拉格朗日量为

代入欧拉-拉格朗日方程

患上到的行动方程偏偏以及牛顿的行动定律不同

再来思考另一个例子 。有一物体套在滑杆上 ,它在重力的熏染下往下滑。杆子的形态并不法则 ,在笛卡尔坐标系中需要两个直角坐标来表述。可是由于物体被约束在了杆子上 ,它惟独1个逍遥度  ,以是可能只用一个坐标来形貌它的行动。

(在物体沿杆下滑下场中  ,惟独一个行动逍遥度)

设物体的初始位置为坐标原点 ,取沿杆走过的长度l(t)作为形貌物体行动的坐标,每一个l对于应一个高度h(l) ,它的拉格朗日量是

代入欧拉-拉格朗日方程

患上到

这也以及牛顿定律是不同的。由于在滑杆上 ,歪斜角的正弦值sinθ便是高度对于沿杆长度的变更率dh/dl,而经由力的矢量分解 ,重力沿杆倾向的份量正是重力乘以歪斜角的正弦值 ,以是上式着实是物体在物体沿杆倾向上牛顿第二定律 。而在垂直于杆的倾向上,物体的重力份量以及杆的反对于力相互对于消 ,物体被牢牢地约束住了 ,不行动逍遥度 。

在欧拉-拉格朗日方程中 ,经由对于拉格朗日量做微分,可能患上到牛顿力学里的减速率以及力 。反以前 ,也可能对于牛顿行动方程做积分 ,来看看它是否回到拉格朗日力学的动能以及势能。令上式双方对于行动道路求积分 ,右侧患上到

第二个等号中把积分变量交流成为了dt ,第三个等号又交流成为了dv,积进去的正是动能。对于右侧积分患上到

它正是重力势能的减大批。把双方放在一起看,不难发现它便是机械能守恒

(张背阴推导机械能守恒)

经由这个不法则形态的杆的例子 ,可能发现拉格朗日力学做作地把行动约束思考进了坐标里 ,它不用定是笛卡尔的直角坐标,也不用定是极坐标概况球坐标,惟独能找到适宜的狭义坐标,就能实用地用行动约束削减微分方程的数目 。一个逍遥度可能用一个狭义坐标以及狭义速率来形貌 ,假如有n个行动逍遥度,拉格朗日量便是对于n个狭义坐标以及n个狭义速率的标量函数

它对于这n组狭义坐标以及速率,有n个欧拉-拉格朗日方程

另一方面,比照于牛顿力学,拉格朗日力学只用思考拉格朗日量一个标量,而不波及对于力的矢量合成 。尽管牛顿力学更抽象直不雅,但在某些受力情景重大的系统中,拉格朗日力学能更利便地患上出物体行动所知足的微分方程 。其后的量子力学以及量子场论也借鉴了其中的良多意见  。

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